16.6.09
29.9.08
¿Como aprendimos a Contar?
Una pregunta posiblemente sencilla de entender para nuestra época, significo todo un reto tecnológico para su época, el simple hecho de representar la numeración y de ahí pasarla a operaciones, pasando por verdades inexplicables como los números irracionales, les costo la vida a algunos.
En el principio el hombre se dedicaba al cuidado de su ganado y cultivo, fue cuando tuvo la necesidad de contar cuanto tenia, las lineas fueron la primera forma de representarlos, con el tiempo el hombre tuvo más y necesito saber como pasar de unidades a decenas o centenas, al llegar a las operaciones y a al uso de la geometría, el uso de las cuerdas les ayudo a hacer cálculos matemáticos, pero es increíble pensar, que la mayor parte de las culturas llego al mismo resultado usando los mimos métodos, pero con distintas herramientas de calculo. Esto y mucho mas viene en el documental así aprendimos a contar, del programa redes.
En el principio el hombre se dedicaba al cuidado de su ganado y cultivo, fue cuando tuvo la necesidad de contar cuanto tenia, las lineas fueron la primera forma de representarlos, con el tiempo el hombre tuvo más y necesito saber como pasar de unidades a decenas o centenas, al llegar a las operaciones y a al uso de la geometría, el uso de las cuerdas les ayudo a hacer cálculos matemáticos, pero es increíble pensar, que la mayor parte de las culturas llego al mismo resultado usando los mimos métodos, pero con distintas herramientas de calculo. Esto y mucho mas viene en el documental así aprendimos a contar, del programa redes.
22.8.08
¿Cómo resolver un problema de ecuaciones de 1er grado ?
Nivel intermedio
Ese es el problema, como resolverlo sin mucho rollo, a veces se nos hacen pelusas en el cerebro por no pensar bien las cosas, el problema no es como vemos las cosas, si no como ven las cosas los matemáticos, habrá que aprender a pensar como ellos, para resolver el juego de palabras y por ultimo transformar las matemáticas a nuestro lenguaje común.
Bien pon atención, existen problemas que se les llaman de primer grado, de segundo, de tercero y así sucesivamente, en esta ocasión solo veremos las de primer grado, con una sola literal como x, pero también se puede usar y, a, b, no importa la literal que uses es lo mismo.
Entonces veamos algunos ejemplos, recuerda que no se tratan de recetas de cocina, donde vas paso por paso y para resolver el siguiente se hace de la misma forma, cada ecuación tiene su problema y su forma de resolver, algunas veces más fácil ó algunas mas sencillas de lo que parecen.
Iniciemos.
Problema 1
Jaime tiene 50 años más que Ana, la suma de la edad de Jaime con la de Ana es 83 ¿cuantos años tiene Ana?
Primero analizamos el problema y descubrimos que Jaime tiene 50 años y Ana no sabemos cuantos años tiene, si sumamos los 50 años de Jaime con los años de Ana son igual a 83, en forma algebraica seria algo así: 50 + edad de Ana = 83, pero como estamos en álgebra cambiamos la edad de Ana por una x, entonces la ecuación es esta 50 + x = 83.
Bien ya tenemos la ecuación, a resolver se ha dicho, ahora ¿cómo la resolvemos?, bueno sigue los siguientes pasos.
50+x=83
como queremos descubrir a x, los 50 pasan restando
x=83-50
para los que no saben como se hace esto, se hace así:
50+x=83
50-50+x=83-50
Aquí como 50 le restamos 50 se convierte en cero y para que siga la igualdad le colocamos un -50 del otro lado quedando =83-50.
0+x=83-50
x=83-50
Ahora hagamos la resta 83-50=33 lo que significa que x=33
x=33
Recuerdas que teníamos una ecuación inicial que era 50+x=83, bueno a esta ecuación le sustituimos el X=33 de la siguiente forma 50+33=83 y si haces la suma te darás cuenta que si nos da 83, pero ten cuidado, la pregunta no era cuanto nos da la suma de 50+33, el problema nos pedía los años de Ana su edad, entonces como los años de Ana=x descubrimos que Ana tiene=33 años, entonces la respuesta a la pregunta:
R= Ana tiene 33 años.
Como vimos en este problema solo usamos x para resolver la ecuación por lo tanto es una ecuación de primer grado, como dato importante los grados de una ecuacion se miden viendo la potencia de este, asi por ejemplo uno de segundo grado se ve así x² y el de tercer grado es así x³.
Observemos que en este problema Jaime no le pusimos una literal porque ya tenia su edad y a Ana si porque era la edad que estábamos buscando.
Problema 2
Este problema se puede parecer en algo al anterior pero ve que no se resuelve de la misma forma.
La edad de María es el doble de la edad de Ana. La suma de ambas edades es 54 años. ¿Cuál es la edad de cada una?
Analizamos el problema, María tiene el doble de años que Ana y sumando sus edades es igual a 54 años, entonces el problema queda así: dos veces María más Ana es igual a 54 años, en álgebra, 2 María + Ana = 54, en palabra de matemáticos, como Mária y Ana son personas y tienen edad, entonces su edad es igual a x, quedando así, 2x + x = 54
ya tenemos la ecuación del problema 2x + x = 54
Ahora hay que resolverlo.
como 2x y x se están sumando y son términos iguales, 2x + x es igual a 3x.
3x = 54
ahora lo que estamos buscando es cuanto vale x, encontramos que x tiene un 3 del lado izquierdo, entonces lo pasamos dividiendo.
x=54 dividido entre 3, como ves estoy usando / para indicar que se esta dividiendo.
x = 54 /3
Se hace de la siguiente forma.
3x=54
3x / 3 = 54 / 3 , tres x le dividimos tres y para que la ecuación se mantenga con su igualdad le dividimos al resultado un 3.
Como 3 divido entre 3 es igual a 1 y 1 por x es igual a x la ecuación queda así.
x=54/3
resolviendo x= 18
Ahora recuerda que la pregunta es ¿Cuál es la edad de cada una? y nos regresamos al inicio donde recordamos que Maria es el doble de Ana y contestamos
R=
La edad de María es igual a 2x y como x es igual a 18 entonces 2 por 18 es igual a 36 entonces María tiene 36 años.
La edad de Ana es igual a x y como x es igual a 18 entonces Ana tiene 18 años.
Ana tiene 18 años.
Viendo los dos problemas parecen casi iguales pero no lo son y se resuelven de distinta forma, siempre hay que analizar el problema y posteriormente resolverlo cambiando lo que estamos buscando en el problema por una literal, en este caso la edad la convertimos en una x.
Observemos que a María y Ana tienen edad y les pusimos una literal que fue x porque como dicen nuestros maestros manzanas con manzanas se suman, en este caso edad con edad, tambien otro dato es que María era el doble de la edad de Ana, en otras palabras María era dos veces la edad de Ana.
Veamos ahora el siguiente problema.
Problema 3
María dentro de 3 años tendrá 39 años ¿cuantos años tiene María?
fácil no creen María tiene x años, si le sumamos 3 años tiene 39 años, en álgebra se escribe así, x+3=39
resolvemos
x=39 - 3
x= 36
y la pregunta dice ¿Cuantos años tiene María?
R= María tiene 36 años.
La idea siempre sera convertir el juego de palabras a matemáticas y para responder la pregunta regresarlo a palabras comunes.
Problema 4
ya usamos el doble de algo en este caso una persona y lo representamos así 2x, ahora usemos la palabra triple de algo, que entonces lo usaríamos así 3x.
Jos tienen el triple de manzanas que José y Paco tiene el doble de manzanas que José. ¿cuantas manzanas tiene cada uno? si las manzanas de todo el grupo dan igual a 6.
3x+2x+x = 6
sumamos
6x = 6
x = 6/6
x= 1
R=
Jos tiene 3 manzanas, Paco 2 manzanas y José una.
Ahora la pregunta del millón ¿que estabas buscando?, la respuesta, el número de manzanas que tenia cada uno.
Problema 5
Ahora veamos como se complica todo solo por cambiar una palabra.
Jos tienen el triple de manzanas que Paco y Paco tiene el doble de manzanas que José. ¿cuantas manzanas tiene José? si las manzanas de todo el grupo dan igual a 8.
A verdad, ja esta más complicado que el de arriba.
Analizando Jos tiene el triple de manzanas que paco lo que es igual a 3x + 2x, porque paco tiene el doble de manzanas que José por eso se contempla el 2x, pero al igual paco tiene el doble de manzanas que José lo que es igual a 2x + x, juntando las dos ecuaciones tenemos:
(3x + 2x) + 2x + x = 8
Sumamos el paréntesis, 5x juntamos la ecuación
5x + 2x + x = 8
sumamos nuevamente
8x = 8
el nueve pasa dividiendo
x = 8 / 8
x = 1
R= José tiene una manzana
Lo que quiero demostrarles es que la respuesta del problema fue ¿Cuantas manzanas tiene José? es muy importante responder la pregunta, si se dieron cuenta la pregunta del problema 4 fue ¿Cuantas manzanas tiene cada uno? lo que es diferente a este ultimo problema.
Realizo un énfasis en este punto, ya que es más importante responder la pregunta en términos comunes, con nuestras palabras, que resolver todo, porque quiere decir que entendiste el problema.
Es como si un hombre quiere un pastel de piña, va a la pastelería y pregunta ¿Quiero un pastel de piña? y el de la tienda responde tiene harina, levadura y piña, es obvio que si no, pero la pregunta no fue entendida por el que lo vendía, la respuesta correcta seria, si tengo pastel de piña ó no tengo pastel de piña.
Esa es la importancia de resolver problemas de ecuaciones, resolver un problema en términos matemáticos que se aplicaran después a nuestras tareas diarias.
Problema 6
Hay otro ejemplo un hombre quiere construir una casa, va a la tienda a comprar el material y se pregunta ¿cuanto material necesito de cada producto?, hace las cuentas y se da cuenta que necesita 1000 ladrillos, 10 kg de cemento, 50 vigas y 100 litros de agua, cada producto tiene un precio, compró todo pero nunca supo cuanto costo cada producto, pero si sabe que todo le costo $23 200 pesos, entonces saca su lápiz y hace las cuentas, primero lo convierte en una ecuación, que quedaría así.
1000 x + 10 x + 50 x + 100 x = 23 200
Por que se pregunto ¿cuanto costo cada producto? y producto lo convirtió en una literal x, ademas sabe que todo sumado le da $23 200 pesos, ahora resolviendo sale.
1160x = 23 200
x = 23 200 / 1160
x = 20
1000 ladrillos por $20 = $20 000
10kg de cemento por $20 = $200
50 vigas por $20 = $1000
100 litros de agua por $20 = $2000
R= los 1000 ladrillos costaron $20 000 pesos, los 10 kg de cemento costaron $200, las 50 vigas costaron $1000 y los 100 litros de agua costaron $2000
Ficha Biográfica:
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
http://schollaris.com.mx/010401ec1grado.php
Ecuación
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
Ese es el problema, como resolverlo sin mucho rollo, a veces se nos hacen pelusas en el cerebro por no pensar bien las cosas, el problema no es como vemos las cosas, si no como ven las cosas los matemáticos, habrá que aprender a pensar como ellos, para resolver el juego de palabras y por ultimo transformar las matemáticas a nuestro lenguaje común.
Bien pon atención, existen problemas que se les llaman de primer grado, de segundo, de tercero y así sucesivamente, en esta ocasión solo veremos las de primer grado, con una sola literal como x, pero también se puede usar y, a, b, no importa la literal que uses es lo mismo.
Entonces veamos algunos ejemplos, recuerda que no se tratan de recetas de cocina, donde vas paso por paso y para resolver el siguiente se hace de la misma forma, cada ecuación tiene su problema y su forma de resolver, algunas veces más fácil ó algunas mas sencillas de lo que parecen.
Iniciemos.
Problema 1
Jaime tiene 50 años más que Ana, la suma de la edad de Jaime con la de Ana es 83 ¿cuantos años tiene Ana?
Primero analizamos el problema y descubrimos que Jaime tiene 50 años y Ana no sabemos cuantos años tiene, si sumamos los 50 años de Jaime con los años de Ana son igual a 83, en forma algebraica seria algo así: 50 + edad de Ana = 83, pero como estamos en álgebra cambiamos la edad de Ana por una x, entonces la ecuación es esta 50 + x = 83.
Bien ya tenemos la ecuación, a resolver se ha dicho, ahora ¿cómo la resolvemos?, bueno sigue los siguientes pasos.
50+x=83
como queremos descubrir a x, los 50 pasan restando
x=83-50
para los que no saben como se hace esto, se hace así:
50+x=83
50-50+x=83-50
Aquí como 50 le restamos 50 se convierte en cero y para que siga la igualdad le colocamos un -50 del otro lado quedando =83-50.
0+x=83-50
x=83-50
Ahora hagamos la resta 83-50=33 lo que significa que x=33
x=33
Recuerdas que teníamos una ecuación inicial que era 50+x=83, bueno a esta ecuación le sustituimos el X=33 de la siguiente forma 50+33=83 y si haces la suma te darás cuenta que si nos da 83, pero ten cuidado, la pregunta no era cuanto nos da la suma de 50+33, el problema nos pedía los años de Ana su edad, entonces como los años de Ana=x descubrimos que Ana tiene=33 años, entonces la respuesta a la pregunta:
R= Ana tiene 33 años.
Como vimos en este problema solo usamos x para resolver la ecuación por lo tanto es una ecuación de primer grado, como dato importante los grados de una ecuacion se miden viendo la potencia de este, asi por ejemplo uno de segundo grado se ve así x² y el de tercer grado es así x³.
Observemos que en este problema Jaime no le pusimos una literal porque ya tenia su edad y a Ana si porque era la edad que estábamos buscando.
Problema 2
Este problema se puede parecer en algo al anterior pero ve que no se resuelve de la misma forma.
La edad de María es el doble de la edad de Ana. La suma de ambas edades es 54 años. ¿Cuál es la edad de cada una?
Analizamos el problema, María tiene el doble de años que Ana y sumando sus edades es igual a 54 años, entonces el problema queda así: dos veces María más Ana es igual a 54 años, en álgebra, 2 María + Ana = 54, en palabra de matemáticos, como Mária y Ana son personas y tienen edad, entonces su edad es igual a x, quedando así, 2x + x = 54
ya tenemos la ecuación del problema 2x + x = 54
Ahora hay que resolverlo.
como 2x y x se están sumando y son términos iguales, 2x + x es igual a 3x.
3x = 54
ahora lo que estamos buscando es cuanto vale x, encontramos que x tiene un 3 del lado izquierdo, entonces lo pasamos dividiendo.
x=54 dividido entre 3, como ves estoy usando / para indicar que se esta dividiendo.
x = 54 /3
Se hace de la siguiente forma.
3x=54
3x / 3 = 54 / 3 , tres x le dividimos tres y para que la ecuación se mantenga con su igualdad le dividimos al resultado un 3.
Como 3 divido entre 3 es igual a 1 y 1 por x es igual a x la ecuación queda así.
x=54/3
resolviendo x= 18
Ahora recuerda que la pregunta es ¿Cuál es la edad de cada una? y nos regresamos al inicio donde recordamos que Maria es el doble de Ana y contestamos
R=
La edad de María es igual a 2x y como x es igual a 18 entonces 2 por 18 es igual a 36 entonces María tiene 36 años.
La edad de Ana es igual a x y como x es igual a 18 entonces Ana tiene 18 años.
Ana tiene 18 años.
Viendo los dos problemas parecen casi iguales pero no lo son y se resuelven de distinta forma, siempre hay que analizar el problema y posteriormente resolverlo cambiando lo que estamos buscando en el problema por una literal, en este caso la edad la convertimos en una x.
Observemos que a María y Ana tienen edad y les pusimos una literal que fue x porque como dicen nuestros maestros manzanas con manzanas se suman, en este caso edad con edad, tambien otro dato es que María era el doble de la edad de Ana, en otras palabras María era dos veces la edad de Ana.
Veamos ahora el siguiente problema.
Problema 3
María dentro de 3 años tendrá 39 años ¿cuantos años tiene María?
fácil no creen María tiene x años, si le sumamos 3 años tiene 39 años, en álgebra se escribe así, x+3=39
resolvemos
x=39 - 3
x= 36
y la pregunta dice ¿Cuantos años tiene María?
R= María tiene 36 años.
La idea siempre sera convertir el juego de palabras a matemáticas y para responder la pregunta regresarlo a palabras comunes.
Problema 4
ya usamos el doble de algo en este caso una persona y lo representamos así 2x, ahora usemos la palabra triple de algo, que entonces lo usaríamos así 3x.
Jos tienen el triple de manzanas que José y Paco tiene el doble de manzanas que José. ¿cuantas manzanas tiene cada uno? si las manzanas de todo el grupo dan igual a 6.
3x+2x+x = 6
sumamos
6x = 6
x = 6/6
x= 1
R=
Jos tiene 3 manzanas, Paco 2 manzanas y José una.
Ahora la pregunta del millón ¿que estabas buscando?, la respuesta, el número de manzanas que tenia cada uno.
Problema 5
Ahora veamos como se complica todo solo por cambiar una palabra.
Jos tienen el triple de manzanas que Paco y Paco tiene el doble de manzanas que José. ¿cuantas manzanas tiene José? si las manzanas de todo el grupo dan igual a 8.
A verdad, ja esta más complicado que el de arriba.
Analizando Jos tiene el triple de manzanas que paco lo que es igual a 3x + 2x, porque paco tiene el doble de manzanas que José por eso se contempla el 2x, pero al igual paco tiene el doble de manzanas que José lo que es igual a 2x + x, juntando las dos ecuaciones tenemos:
(3x + 2x) + 2x + x = 8
Sumamos el paréntesis, 5x juntamos la ecuación
5x + 2x + x = 8
sumamos nuevamente
8x = 8
el nueve pasa dividiendo
x = 8 / 8
x = 1
R= José tiene una manzana
Lo que quiero demostrarles es que la respuesta del problema fue ¿Cuantas manzanas tiene José? es muy importante responder la pregunta, si se dieron cuenta la pregunta del problema 4 fue ¿Cuantas manzanas tiene cada uno? lo que es diferente a este ultimo problema.
Realizo un énfasis en este punto, ya que es más importante responder la pregunta en términos comunes, con nuestras palabras, que resolver todo, porque quiere decir que entendiste el problema.
Es como si un hombre quiere un pastel de piña, va a la pastelería y pregunta ¿Quiero un pastel de piña? y el de la tienda responde tiene harina, levadura y piña, es obvio que si no, pero la pregunta no fue entendida por el que lo vendía, la respuesta correcta seria, si tengo pastel de piña ó no tengo pastel de piña.
Esa es la importancia de resolver problemas de ecuaciones, resolver un problema en términos matemáticos que se aplicaran después a nuestras tareas diarias.
Problema 6
Hay otro ejemplo un hombre quiere construir una casa, va a la tienda a comprar el material y se pregunta ¿cuanto material necesito de cada producto?, hace las cuentas y se da cuenta que necesita 1000 ladrillos, 10 kg de cemento, 50 vigas y 100 litros de agua, cada producto tiene un precio, compró todo pero nunca supo cuanto costo cada producto, pero si sabe que todo le costo $23 200 pesos, entonces saca su lápiz y hace las cuentas, primero lo convierte en una ecuación, que quedaría así.
1000 x + 10 x + 50 x + 100 x = 23 200
Por que se pregunto ¿cuanto costo cada producto? y producto lo convirtió en una literal x, ademas sabe que todo sumado le da $23 200 pesos, ahora resolviendo sale.
1160x = 23 200
x = 23 200 / 1160
x = 20
1000 ladrillos por $20 = $20 000
10kg de cemento por $20 = $200
50 vigas por $20 = $1000
100 litros de agua por $20 = $2000
R= los 1000 ladrillos costaron $20 000 pesos, los 10 kg de cemento costaron $200, las 50 vigas costaron $1000 y los 100 litros de agua costaron $2000
- Como vez descubrir que resolver ecuaciones matemáticas te pueden resolver la vida de una forma tan sencilla, ¡¡¡es un gran descubrimiento!!!.
Ficha Biográfica:
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
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Ecuación
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
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